熒颯光學｜探究傅里葉變換紅外光譜中FFT窗函數的奧秘

在使用傅里葉變換紅外光譜儀采集光譜前，我們通常需要設置一些儀器參數和算法參數。在FFT參數或者高級設置中，有一個不太起眼的選項，叫做“切趾函數”（Apodization）。對于初用傅里葉變換紅外光譜儀的小伙伴來說，有點像是天書一般的名詞，它到底是什么？它在光譜分析中起到什么作用?在遇到譜圖質量不佳時，是否需要調整這個參數？

當我們帶著疑惑向工程師咨詢時，他們通常會輕飄飄地回復一句，“不用管，選默認的就行，無需修改”。切，無需修改，那為何軟件要設計這么多可選的窗函數出來，像三角窗、矩形窗、BlackmanHarris、高斯窗……故作高深？！咱就是不信邪，今天就帶大家一起來剖析下這個參數的含義和作用。（下圖為熒颯光學光譜采集軟件中的參數界面）

其實這都是由傅里葉變換紅外光譜儀（FTIR）的原理所決定的。如果是傳統色散型光譜儀就永遠接觸不到這個參數了。想要弄清切趾函數的含義和作用，我們要從傅里葉變換的底層邏輯探究一下，FTIR使用了一個叫做干涉儀的分光部件進行采集得到時域光譜信號。由于干涉儀動鏡行程和采集時間有限，得到的都是一定長度的干涉圖（有限的數據點，特別是在信號的兩端其實是被強行截斷了），并不能完整代表整張光譜包含的所有數據信息。動鏡行程越短，數據點則越少。要想完整的無偏差轉換成我們看得懂的光譜圖，就必須得到無限長的干涉圖，這兩者就矛盾了。由于信號在時域上的截斷（即信號不是無限長的）導致頻域中引入虛假的頻率成分，也就是所謂頻譜泄露（spectral leakage）。切趾函數的作用就是通過對干涉圖的兩端進行平滑衰減到0，減少截斷效應，從而降低頻譜泄露，使得經過FFT變換后得到光譜圖。“切趾”這個詞也很形象地表達了對干涉圖的處理手段，就像是用一把“刀”將無限長的干涉圖“咔咔一通剪”，只保留中間信息量最豐富的區域，而舍棄兩端“腳趾”的只能得到一部分有限數據點的干涉圖數據。下面我們來列舉幾種常見的窗函數。

矩形窗函數是最簡單的窗函數，它通過一個矩形框保留信號中間信息量最大的部分。把一段無限長的信號切掉兩端的信息，只保留中間信息量最大的部分，直接截取信號，不進行加權處理，這個就是矩形窗函數了。這種處理方式也是非常直觀的（如下圖），用一個矩形框把其中一段信號保留下來，其它的舍去，怎么樣，是不是很形象？

那我們再看看經過hamming加窗之后的信號是什么樣的呢？簡單來說就是將信號幅值按不同的權重進行了修飾處理，盡量保留信號中間部分信息量最大的部分，而抑制兩端信號強度。下圖即為將原始信號加hamming窗的計算過程。

小伙伴可以通過網上查詢不同的窗函數。各類窗函數大同小異，抑制的效果也各有不同， 導致FFT變換后的光譜也就會有不同的旁瓣影響。

慢著慢著，還有一個概念沒有解釋。那什么又叫“頻譜泄露”呀？我們來模擬產生兩個信號，Wave1和Wave2是時域中相同的一段正弦波，表達式為y=sin(2πft)，頻率f=20Hz。其頻率譜就是一個20Hz單頻峰。而仔細觀察Wave2的時域信號，會發現它是不完整的正弦波，經過FFT變換后，頻率圖中除了20Hz峰之外，還出現了一定程度的頻譜展寬，20Hz峰的強度也有所下降，這就是所謂的頻譜泄露(Spectrum Leakage)。同樣的信號，經過FFT變換怎么就不一樣了呢？從根本上來說，這是傅里葉算法引起的。造成這個問題的根本原因是：采樣信號的相位在始端和終端不連續。這時候，就可以通過加窗的方式來減輕頻譜泄露，使得wave2的頻譜展寬減小，盡量模擬到wave1的頻域狀態。而除了傅里葉變換紅外光譜分析之外，現實生活中的其他領域，比如音頻處理，圖像處理等，通過加窗對信號進行處理的方法也是普遍應用的。

最后給各位小伙伴總結一下不同窗函數的效果：

• 矩形窗（Boxcar）：頻譜泄露最嚴重，旁瓣較大，甚至有時候可以看到負值。

• 漢寧窗（Hanning）：頻譜泄露較少，主瓣寬度適中。

• 海明窗（Hamming）：與漢寧窗類似，但在某些頻率上表現更好。

• 布萊克曼窗（BlackmanHarris）：頻譜泄露最少，但主瓣寬度較寬，有利于提高信噪比。

還有一點值得注意的是，使用不同的窗函數，會影響到最終光譜圖的分辨率和信噪比。所幸針對FTIR，我們分析的絕大部分固體和液體，這些樣品的峰寬都足夠大，在設置4cm^-1或者8cm^-1分辨率采集時，不同的算法所展現出來效果差異微乎其微，基本不影響分析人員的日常分析工作。這就是工程師們口中常說的“使用默認值即可”，分析人員一般無需更改。其實不同廠家的軟件默認窗函數也有所不同，但大多數情況下，一般都會采用比較折中的窗函數，比如hamming窗或者BlackmanHarris窗。如下圖，我們使用不同窗函數采集38um聚苯乙烯薄膜紅外光譜圖（分辨率 4cm^-1），仔細觀察3000cm^-1這一段光譜，可以看到當采用不同窗函數，其主瓣峰基本一致，細微差異則是峰高和峰寬，這種差異對一般定性分析來說，其實可以忽略的。

說到這，估計大部分分析工作者能稍微了解這個參數的作用了吧。所以，大部分情況下，我們還真的不太需要修改窗函數這個參數。只有當個別高級用戶在分析特殊樣品時可能會根據需要進行修改，比如氣體的測試。由于氣體峰寬很窄，當采用高分辨率采集光譜時，窗函數的選擇可能對光譜產生顯著影響，這時候就需要仔細甄別了。如下圖，CO氣體在分辨率0.125cm^-1下，采用不同窗函數下的差異是不是就有點大了？

小結

窗函數在傅里葉變換紅外光譜分析中起著重要作用。雖然大多數情況下，使用默認窗函數即可滿足分析需求，但在分析特殊樣品（如氣體）時，選擇合適的窗函數可能會對結果產生顯著影響。了解不同窗函數的特點和適用場景，可以幫助分析人員更準確地解讀光譜數據。